不变子群的传递性(不变子群个数)
在数学中，群是一种代数结构，它由一些元素和二元运算组成。群被广泛用于描述各种数学和物理现象，例如对称性和对称群。在群论中，一个子群是群中的一个子集，该子集在群的运算下仍然是一个群。而不变子群则是指在群的运算下保持不变的子群。不变子群的传递性是指，如果一个群在一个不变子群的条件下保持不变，那么它在该子群的任何子群的条件下也将保持不变，因此，它所包含的不变子群的个数是有限的，这个个数反映了该群的性质。
不变子群的定义
在群 $G$ 中，一个不变子群 $H$ 是满足以下条件的子集：
$H$ 包含 $G$ 的单位元素。
对于任意 $h \in H$ 和 $g \in G$，$g^{-1}hg$ 也在 $H$ 中。
简而言之，不变子群是群中的一个子集，它在群的运算下保持不变。举个例子，正整数集合 $\mathbb{Z}$ 可以构成一个群，而偶数集合 $\{2n | n\in \mathbb{Z}\}$ 就是 $\mathbb{Z}$ 的一个不变子群，因为它在加法下保持封闭。而奇数集合 $\{2n 1 | n\in \mathbb{Z}\}$ 则不是 $\mathbb{Z}$ 的不变子群。
不变子群的传递性
不变子群的传递性是指，在群 $G$ 中，如果 $H$ 是 $G$ 的一个不变子群，$K$ 是 $H$ 的一个不变子群，那么 $K$ 也是 $G$ 的一个不变子群。
证明如下：
由于 $H$ 是 $G$ 的不变子群，所以对于任意 $h \in H$ 和 $g \in G$，$g^{-1}hg$ 也在 $H$ 中。由于 $K$ 是 $H$ 的不变子群，所以对于任意 $k \in K$ 和 $h \in H$，$h^{-1}kh$ 也在 $K$ 中。
现在我们考虑 $g^{-1}kg$，其中 $k \in K$，$g \in G$。由于 $K$ 是 $H$ 的子群，因此 $k \in H$，于是有：
$$
\begin{aligned}
g^{-1}kg &= (g^{-1}h^{-1}hg)(g^{-1}kg)(h^{-1}ghg^{-1}kgh^{-1}) \\
&=(g^{-1}h^{-1}hg)(h^{-1}kh)(ghg^{-1})(g^{-1}kh^{-1}ghg^{-1}kgh^{-1}) \\
&=(g^{-1}h^{-1}h)(h^{-1}kh)(ghg^{-1})(g^{-1}gh^{-1}hg)(ghg^{-1})(g^{-1}kh^{-1}ghg^{-1}kg) \\
&=h^{-1}(g^{-1}kg)h
\end{aligned}
$$
因此，我们得到了 $g^{-1}kg$ 在 $H$ 中的形式。由于该表达式左右两边都是 $H$ 中的元素，而 $H$ 是 $G$ 的不变子群，因此 $g^{-1}kg$ 也在 $H$ 中。同理，$g^{-1}kg$ 也在 $K$ 中。因此，我们证明了 $K$ 是 $G$ 的不变子群。
不变子群个数的应用
不变子群个数可以作为一个群的重要特征，可以用于描述其在代数和几何上的性质，例如它的置换群、对称性等等。在拓扑学中，不变子群也被广泛应用于保持一些性质不变的连续变换。
在一些算法中，不变子群个数也被用来快速检查两个群是否同构。由于同构的群具有相同的结构，它们必须拥有相同数量的不变子群。
不变子群的传递性和不变子群个数是群论中的两个重要概念，它们为我们理解和研究群提供了有力的工具。它们也被广泛应用于数学、物理和计算机科学等领域。
