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1、2023年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、选择题：18小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1曲线渐近线的条数为A0B1C2D3【答案】：【解析】：，所以为垂直的，所以为水平的，没有斜渐近线 故两条选2设函数，其中为正整数，那么ABCD【答案】：【解析】： 所以3设函数连续，那么二次积分=ABCD【答案】：B【解析】：由解得的下界为，由解得的上界为.故排除答案CD.将极坐标系下的二重积分化为型区域的二重积分得到被积函数为，应选B.4级数绝对收敛，条件收敛，那么范围为 ABCD【答案】：D【解析】：考察的
2、知识点是绝对收敛和条件收敛的定义及常见的级数的收敛性结论.绝对收敛可知；条件收敛可知，故答案为D5设其中为任意常数，那么以下向量组线性相关的是 ABCD【答案】：C【解析】：由于，可知线性相关。应选C6设为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且，那么 ABCD【答案】：B【解析】：，那么，故应选B。7设随机变量与相互独立，且都服从区间上的均匀分布，那么 ABCD【答案】：D【解析】：由题意得，其中表示单位圆在第一象限的局部，被积函数是，故根据二重积分的几何意义，知，应选D.8设为来自总体的简单随机样本，那么统计量的分布 ABCD【答案】：B【解析】：从形式上，该统计量只能服从分布。应选。具体证明如下：，
3、由正态分布的性质可知，与均服从标准正态分布且相互独立，可知。二、填空题：914小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.9_。【答案】：【解析】：=所以=10设函数，求_。【答案】：【解析】：由的表达式可知，可知11函数满足，那么【答案】：【解析】：由题意可知分子应为分母的高阶无穷小，即，所以，故12由曲线和直线及在第一象限中所围图形的面积为？【答案】：【解析】：被积函数为1的二重积分来求，所以13设为3阶矩阵，,为的伴随矩阵，假设交换的第一行与第二行得到矩阵,那么_。【答案】：-27【解析】：由于，故，所以，.14设是随机事件，互不相容，,那么_。【答案】：【解析】：由条件概率
4、的定义，其中，由于互不相容，即，又，得，代入得，故.三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.15此题总分值10分计算【解析】：16此题总分值10分计算二重积分，其中D为由曲线与所围区域。yO 1 x【解析】：由题意知，区域，yO 1 x17此题总分值10分某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定本钱为10000万元，设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x件和y件，且固定两种产品的边际本钱分别为万元/件与万元/件。1求生产甲乙两种产品的总本钱函数(万元)2当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总本钱最小？求最小的
5、本钱。3求总产量为50件时且总本钱最小时甲产品的边际本钱，并解释其经济意义。【解析】：1设本钱函数为，由题意有：，对x积分得，再对y求导有，再对y积分有，所以，又，故，所以2假设，那么，代入到本钱函数中，有所以，令，得，这时总本钱最小3总产量为50件且总本钱最小时甲产品的边际本钱为，表示在要求总产量为50件时，在甲产品为24件，这时要改变一个单位的产量，本钱会发生32万元的改变。18此题总分值10分证明：【解析】：令，可得当时，有，所以，故，而，即得所以。当，有，所以，故，即得可知，19此题总分值10分函数满足方程及1求表达式2求曲线的拐点【解析】：1特征方程为，特征根为，齐次微分方程的通解为
6、.再由得，可知。故2曲线方程为，那么，令得。为了说明是唯一的解，我们来讨论在和时的符号。当时，可知；当时，可知。可知是唯一的解。同时，由上述讨论可知曲线在左右两边的凹凸性相反，可知点是曲线唯一的拐点。20此题总分值10分设，求线性方程组有无穷多解，求，并求的通解。【解析】：可知当要使得原线性方程组有无穷多解，那么有及，可知。此时，原线性方程组增广矩阵为，进一步化为行最简形得可知导出组的根底解系为，非齐次方程的特解为，故其通解为线性方程组存在2个不同的解，有.即：，得或-1.当时,，显然不符，故.21此题总分值10分三阶矩阵，为矩阵的转置，且二次型。1求2求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。【解析】：1由可得，2 那么矩阵解得矩阵的特征值为：对于得对应的特征向量为：对于得对应的特征向量为：对于得对应的特征向量为：将单位化可得：，22此题总分值10分随机变量以及的分布律如下表所示，X012P1/21/31/6Y012P1/31/31/3XY0124P7/121/301/12求：1；2与.【解析】：X012P1/21/31/6Y012P1/31/31/3XY0124P7/121/301/1212
